Modélisation financière

Des modèles mathématiques pour évaluer et prédire l'évolution de la valeur des titres financiers

Les salles de marché utilisent des modèles mathématiques qui servent aussi bien à évaluer des instruments financiers qu'à déterminer les orientations de gestion des portefeuilles.

De tels modèles sont constitués de variables mathématiques qui représentent un objet étudié (par exemple pour une option : le prix d'exercice, l'échéance, etc.) et qui sont liées par des relations algébriques (additions, soustractions, équations, inéquations, etc.).

Appliquées aux marchés financiers, ces relations algébriques font intervenir le passage du temps et le risque, qui sont les deux paramètres majeur de l'évolution de la valeur des actifs financiers dans un contexte dit « d'incertitude ».

L'utilisation de processus stochastiques (modalités d'évolution de variables aléatoires dans le cadre d'un calcul de probabilités) est au coeur des modèles de mathématiques financières : processus dits de Markov, de Wiener, d'Ito, processus brownien, etc.

Le modèle de Black-Scholes

Les américains Fisher Black et Myron Scholes ont développé en 1972 un modèle d'évaluation des options européennes qui leur a valu le prix Nobel d'économie en 1997 et qui est très largement utilisé par les traders d'instruments financiers de divers secteurs.

Ce modèle conduisit certes à la faillite un hedge fund auquel Scholes en personne associa son nom (LTCM - Long Term Capital Management), mais ceci est (un peu) une autre histoire. Le modèle de Black-Scholes ne fait intervenir qu'un petit nombre de variables : le cours et la volatilité de l'action servant de sous-jacent à une option, le prix d'exercice de l'option, son échéance et le taux d'intérêt.

La formule de Black-Scholes conduit à une valeur d'option (d'achat ou de vente) qui fournit une évaluation beaucoup plus précise que la seule classique différence entre valeur temps et valeur intrinsèque d'une option (valeur intrinsèque = différence entre le cours d'une action et le prix d'exercice de l'option d'action correspondante).

Les spécialistes en mathématiques financières ont étendu et développé le modèle de Black-Scholes initial (qui suppose qu'aucun dividende n'est versé pendant la durée de vie de l'option considérée, ou encore que la volatilité du sous-jacent est constante), avec notamment une extension aux options américaines (qui se distinguent des options européennes en ceci qu'aucune date d'exercice obligatoire ne leur est attachée).

D'autres modèles dérivés et plus complexes ont aussi été mis au point, notamment ceux de Garman et Kohlhagen pour les options sur devises, ou encore celui de Robert Merton qui intègre la possibilité du versement d'un coupon pendant le durée de vie d'une option européenne.

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